报告题目 (Title)：伽罗瓦环上基于编码的分布式矩阵乘法的构造与实现
报告人 (Speaker)： 李宋宋 助理研究员（上海交通大学）
报告时间 (Time)：2025年9月30日（周二）10:00
报告地点 (Place)：校本部GJ304
邀请人(Inviter)：丁洋
主办部门：理学院数学系
报告摘要：矩阵乘法是机器学习、科学计算和图形处理等各个领域的基本运算。随着数据规模的日益增大以及大模型的崛起，所需计算的矩阵规模也逐渐增大，导致传统的中心化计算方式无法满足实际需求。基于编码的分布式矩阵乘法(Coded Distributed Matrix Multiplication，CDMM) 是一种用于大规模矩阵乘法的分布式矩阵计算。CDMM利用单变量多项式的编码方案，使得N 个工作节点中的任意 R 个工作节点都可以恢复最终乘积，其中 N 对应于编码的长度，R≤N 称为恢复阈值。当前，最先进的 CDMM 方案，如Entangled polynomial（EP）码以及针对批量矩阵乘法的GCAS 码，都是在大小为 q≥N 的伽罗瓦域 𝖦𝖥(q) 上实现的。对于诸如二元域 𝖦𝖥(2) 和整数剩余类环 ℤpl，由于插值所需的可逆元不足，已知的分布式矩阵乘法方案均无法使用。相较于大的伽罗瓦域 𝖦𝖥(q)，环ℤpl上的运算与硬件直接兼容（例如ℤ232, ℤ264），在实践中具有很好的应用前景。
在本次报告中，我们将介绍基于Galois环 GR(pl, d) 上的高效 CDMM 构造。环 GR(pl, d) 是ℤpl的d次扩环。特别地，GR(pl, 1)= ℤpl，GR(p,d)= GF(pd)。首先，我们基于 Cascudo 等人在 Crypto 2018 提出的 RMFE 组件，构造了批量 CDMM 方案。与 GCSA 相比，我们的构造能够将恢复阈值降低约 1/ n 倍，其中n为批量矩阵乘法的个数。其次，对于单个矩阵乘法，通过对输入矩阵进行批量预处理，我们给出了两种类型的CDMM，其性能接近有限域上的 EP 码。最后，我们给出了环ℤpe上的 CDMM 的实验数据分析。
